T大生の独り言

T大に通っていて、その日感じたこと、思ったこと、反省したこと、喜びや悲しみを不定期につづっていこうと思います。

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「数学」って何?
「数学」は、どんな勉強をすればいいの?

今から書くのは、僕が思う、その1つの答えです。


まずは、この問題を解けますか?

9_23_1_edited.jpg


中学で習う、因数分解の問題です。
高2生くらいになってくると、「楽勝じゃん、こんな問題。バカにしてんの?」とか思う人も多いかもしれません。

でも、少し立ち止まって考えてください。

なぜ、この問題が解けたのですか?


因数分解をするには、
「足し算」 …1
「掛け算」 …2

といった、小学校で習う知識に、
「文字式の扱い(xとかいう文字)」 …3
「数式の展開( (x-2)(x-8)を展開する知識 )」 …4

といった、中学の中級レベルまでの《高度》な知識も必要です。

つまり、1~4までの知識を、しっかりと暗記して、道具として使えているから
その応用問題である因数分解ができるのです。

しかし、「楽勝じゃん、こんな問題。バカにしてんの?」とか思った人は、
因数分解「応用問題」だと、思ったでしょうか?


答えは「NO」です。

因数分解の問題を、足し算やかけ算の応用問題だ、とは、誰も思わないでしょう。

つまり、みなさんは、因数分解の知識をすでに暗記し、道具として使えているのです。


次の問題を見てください。これはどうでしょう。

9_23_2_edited.jpg


この問題を解くときには、
「因数分解」の知識 …1
と一緒に、
「2次不等式の解き方」 …2
「指数関数の知識」 …3
「2のt乗 を x と置き換える、文字の置き換えの知識」 …4

が必要です。

この1~4の知識を、高校2年生までで習って初めて、1~4を応用した、この問題が解けるようになります。

さっきは「楽勝」発言をしていた人も、今回はそうもいかないかもしれません。

しかし、数学が得意な人や、数学の演習をよくやっている人、あるいは、
東大のような難関大を目指す人、にとって、この問題は「応用問題」でしょうか?


答えは、またまた「NO」です。

なぜでしょうか?

数学を勉強してると、このような、「文字を置き換えて、定義域に注意しつつ、
2次不等式を因数分解などを用いて解く問題」
には、たくさん出会います。

このタイプの問題を数多く繰り返すと、そのうち解法を暗記してしまって、この問題を解くときに、
いちいち「因数分解」「2次不等式」「指数関数」を意識しなくなるのです。

これは、因数分解するときに「足し算」「掛け算」を意識しないのと同じことです。

数学のできる人は、「こういうタイプの問題だな」と、すでに暗記して、道具として使えるのです。


ですから、僕は「数学」とは、こういうものだと考えます。

1:「数学」は、基礎を積み重ねて暗記し、
その基礎「道具」として使いこなせるようにすることで、応用問題を解く学問。

であると同時に、

2:「応用」を、積み重ねて暗記すると、
その「応用」が次の「基礎」になる。そして、それを「道具」にして、更なる応用問題が解ける。



あとは、2を繰り返すだけです。

「基礎」を組み合わせて作ったものを、次の「基礎」にする。

これは、まるで、1台の車を作ることに似ています。

車を作るには、エンジンタイヤボディ といった部品が必要ですね。
そして、エンジンにはモーターなどの、細かな部品がいるし、
タイヤにもゴムやホイールが、
ボディも、鉄や塗料や、色んなものが必要です。

そして、そのモーターにも、どれだけの部品が必要でしょう。
その「モーターを作るための部品」を作るためには…

と考えていくと、キリがありませんね。

僕は「数学」とは、こういうものだと思っています。

つまり、
基礎をどんどん積み上げ基礎の集合を次の基礎にすることを繰り返して
1問の問題が解けるようになる」
ということです。

このような「積み上げ式」の勉強は、他の、国語や英語や社会では、あまりしません。

この違いを意識できなくて、「数学だけが苦手な生徒」になってしまう人がいる一方で、
こういう積み上げていく勉強が好きで、「数学だけ、めっちゃ強い生徒」もいるのです。

上で見たように、数学にも「暗記」が必要です。
しかし、世界史や、化学の無機分野のような「ひたすら暗記するだけ」という意味での「暗記」とは、
種類が違うことを、よく心においておくべきだと思います。

「そういう、基礎を積み上げていく勉強って、無理やわぁ」とかいう人でも、46×49 といった計算はできますよね。

よく、考えてみてください。
46×49 の計算は、九九の計算(1桁の掛け算の計算)を基礎にしているし、
その九九の計算は、足し算を基礎にしているのです。

こうして、今の皆さんも、立派に数学力を積み上げて、ここまで来ているのですから、
「無理やわぁ」とか言わず、だんだんと数学の階段を登ってみてはどうですか?


数学入試問題とは、いわば、塔の頂上です。車の例で例えるなら、その「車」本体。つまり、完成品です。

しかし、入試問題も、いくつかの「基礎」を元にできていて、
その「基礎」も、もう少し簡単な別のいくつかの「基礎」からできているのです。

こうして、入試問題という「車」を2段階くらいバラバラに分解してみると、
どれもみんな教科書に載ってる、ごく簡単なことからできているのです。

ですから、入試問題解けます

最後に、最先端の数学の話をしましょう。

この世には、「フェルマーの最終定理」のように、解くだけで100万ドルの賞金がもらえる「超難問」があります。
その問題を解くためには、偏微分方程式楕円関数論など、20個にも、30個にもなる、数々の「道具」が必要です。

その「道具」自身がこれまた難しく、「道具」を理解するために、大学で習う数々の数学の知識が必要になります。

その「大学の数学」は、高校数学を基礎にしています。


つまり「数学」は、高校でも、大学でも、研究者になっても、やっぱり、
基礎をどんどん積み上げ基礎の集合を次の基礎にすることを繰り返して成立しているのです。


余談に、東大の入試問題(2002年・文系)を1問貼り付けます。

9_23_3_edited.jpg


さて、解答はこちら。

9_23_4_edited.jpg


見て下さい。解説4行目に、2問目で紹介した
「文字を置き換えて、定義域に注意しつつ、2次不等式を因数分解などを用いて解く」タイプ
の形が出てきてますよね。


「東大の入試」は、「2問目のタイプ」を道具にして作られていて、
「2問目のタイプ」「因数分解」を道具にして作られていて、
「因数分解」「足し算」「引き算」などを道具にして作られている。


どんどん積み上げていく「数学」の勉強。


みなさんは、今、数学「塔」をどのくらい積み上げられていますか?

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sasaさん頑張っていますね!
sasaさんに勉強を教わっていたらきっと
算数が大好きになっていたと思います。
私は今風邪引きさんなのでまた寝ますー。
また遊びに来まーす。

2005.09.24 22:29 URL | まりあ #- [ 編集 ]

またもや、心に響く記事発見。

僕はいわゆる
「数学だけ極端に苦手な人間」です。
英語と数学の偏差値が40以上もひらいたときもありました。

そうなんです、その通りなんです
少し応用されると全く解けないんです。
なぜか?道具を正しく使えていないから。

道具をつかうには経験値が必要だと思います。
僕はこれから積極的にその経験値を稼ぎ、数学をものにしていきたいと
改めて感じました!

Sasaさんの文章読んでるとやる気がでます
少しやる気がなくなったときにでもここを覗かせて貰うと
元気がでます!

2005.09.24 22:30 URL | nobu #- [ 編集 ]

>まりあさん
そういってもらえると、嬉しいですね^^
まだまだ、塾講師1年目。
これからも、ずっとずっと、頑張っていきます!
風邪ですか?お大事にしてください。
>nobuさん
こういう意味で、数学は「基礎」が命なのです。
地道な作業だけどね。それでも、nobuさんみたく、まだまだ高1なら、余裕で間に合いますよ。

2005.09.25 00:58 URL | Sasa #- [ 編集 ]

はじめまして。なんだか目が止まってしまいました。本当に数学の塔なんだなぁって今考えてしまいました。
2次関数がわからないからって2次関数だけをわかろうとしたって、みせかけの学力ですよね。2次関数の前には関数や方程式があって、その前に1次関数、連立方程式、その前の方程式、その前 前と考えていくと小学校低学年がどれだけ大切な土台づくりなんだと
ドキドキしてしまいました。
今、娘は小学3年生。1番下の基礎を作っている段階です。
見た目よりもしっかりとした数学の塔を親子で作っていきたいと思います!
また遊びにきますね☆

2005.10.03 00:25 URL | ゆい #- [ 編集 ]

はじめまして!とある高校2年生です。

ここまで数学を体系化すると何か無機的になってしまいますね...
しかし,(自分も含め)数学が嫌いな人には数学の上達への近道ではないかと思います.
とても参考になる文章をありがとうございました! 今は調子に乗って微分方程式を勉強しています。

2006.05.25 18:20 URL | 沢田 #- [ 編集 ]

このコメントは管理者の承認待ちです

2015.05.08 01:08  | # [ 編集 ]












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